Ellipse (Darstellende Geometrie)

Kreise und Ellipsen spielen in der Darstellenden Geometrie hauptsächlich als Randkurven von Objekten wie Zylinder, Kegel und Rotationsflächen eine wichtige Rolle. Schneidet man einen geraden Kreiszylinder oder einen geraden Kreiskegel schräg ab, so entsteht als Schnittkurve beim Zylinder immer eine Ellipse, beim Kegel nur bei nicht zu schrägem Schnitt. Es besteht dann die Notwendigkeit, einen Kreis oder eine Ellipse entweder mittels einer Parallelprojektion oder einer Zentralprojektion auf eine Bildtafel zu projizieren.

Da der Hyperbel- und Parabelfall eher selten und der Kreis- bzw. Ellipsenfall der Regelfall ist, wurden für Ellipsen effektive Methoden entwickelt, ihre Bilder bei Parallelprojektion und Zentralprojektion zu konstruieren. Man kann relativ leicht eine Ellipse zeichnen, wenn ihr Mittelpunkt und ihre vier Scheitel bekannt sind. Also versucht man diese zu ermitteln. Dies ist im Fall einer Parallelprojektion deutlich einfacher als im Fall einer Zentralprojektion, da bei einer Parallelprojektion das Bild des Mittelpunktes der Mittelpunkt der Bildellipse ist (s. u.). Scheitel gehen allerdings fast nie wieder in Scheitel über. Bei Parallelprojektion liefern Scheitel wenigstens sog. konjugierte Durchmesser der Bildellipse, aus denen man mit Hilfe der Rytzkonstruktion die Scheitel rekonstruieren kann. Da meistens kein Ellipsenzirkel zur Verfügung steht, zeichnet man eine Ellipse am besten näherungsweise freihand mit Hilfe ihrer vier Scheitekrümmungskreise (s. u.). Diese Methode liefert erstaunlich „schöne“ Ellipsen. Auch Computer-Zeichenprogramme bieten oft die Möglichkeit, Ellipsen bei bekannten Mittelpunkten und Halbachsenlängen zu zeichnen.

Den Nachweis, dass das Bild einer Ellipse bei einer Parallelprojektion wieder eine Ellipse ist, kann man begrifflich (ohne Rechnung) führen. Dies wird in vielen Büchern über Darstellende Geometrie so beschrieben. Ein kürzerer Weg verwendet analytische Geometrie und wird hier dargestellt.

Eine Ellipse kann man als affines Bild des Einheitskreises auffassen und mit einer Parameterdarstellung

beschreiben: Eine affine Abbildung besteht aus einer linearen Abbildung und anschließender Verschiebung. Der Vektor









f










0






{\displaystyle {\vec {f}}_{0}}


beschreibt den Mittelpunkt der Ellipse und die Punktepaare









f










0




±







f










1






{\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}


sowie









f










0




±







f










2






{\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{2}}


beschreiben Durchmesser der Ellipse und sind die Bilder zweier orthogonaler Durchmesser des Einheitskreises. Solche Paare von Durchmessern heißen konjugierte Durchmesser.









f










1




,






f










2






{\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}


stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h.,









f










0




±







f










1






{\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}


und









f










0




±







f










2






{\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{2}}


sind i. A. nicht die Scheitel der Ellipse. Durch Differentiation überzeugt man sich, dass

Da bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen und Parallelität erhalten bleibt, gilt:

Da ein Kreis beliebig viele Paare orthogonaler Durchmesser hat, besitzt eine Ellipse beliebig viele Paare konjugierter Durchmesser. Ein Punktepaar








p









(


t


)


,





p









(


t


+


π



)




{\displaystyle {\vec {p}}(t),{\vec {p}}(t+\pi )}


beschreibt einen Durchmesser und das Paar








p









(


t


+


π




/



2


)


,





p









(


t






π




/



2


)




{\displaystyle {\vec {p}}(t+\pi /2),{\vec {p}}(t-\pi /2)}


den dazu konjugierten Durchmesser.

Die Eigenschaft (M) erlaubt es, bei gegebener Ellipse als Punktmenge (Kurve) aus zwei parallelen Sehnen einen Durchmesser






d



1






{\displaystyle d_{1}}


der Ellipse zu konstruieren. Der Mittelpunkt





M




{\displaystyle M}


des Durchmessers ist der Mittelpunkt der Ellipse. Konstruiert man anschließend den Mittelpunkt einer zu






d



1






{\displaystyle d_{1}}


parallelen Sehne, so erhält man durch Verbinden des Sehnenmittelpunktes mit





M




{\displaystyle M}


den zu






d



1






{\displaystyle d_{1}}


konjugierten Durchmesser






d



2






{\displaystyle d_{2}}


.

Für die Projektion einer Ellipse ist folgende Eigenschaft wichtig:

Eine Parallelprojektion projiziert mit parallelen Strahlen Punkte (im Raum) auf eine Ebene (Bildtafel). Ist








v











{\displaystyle {\vec {v}}}


die Projektionsrichtung und wird die Bildebene durch die Gleichung








n
















x









=


d




{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=d}


beschrieben, so wird ein Punkt








x











{\displaystyle {\vec {x}}}


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;“ alt=“{\vec {x}}“> auf

abgebildet (s. Parallelprojektion). Es muss








n
















v













0




{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\neq 0}


gelten, da sonst die Bildtafel projizierend, d. h. parallel zur Projektionsrichtung wäre.

Wählt man die Bildtafel so, dass sie den Nullpunkt des Koordinatensystems enthält und wählt die Länge des Normalevektors








n











{\displaystyle {\vec {n}}}


so, dass








n
















v









=


1




{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}


ist, so nimmt die Projektionsformel folgende einfache Gestalt an:

Die Projektion ist in dieser Form eine lineare Abbildung.

Gilt








n









=





v











{\displaystyle {\vec {n}}={\vec {v}}}


, so liegt eine orthogonale Projektion (auf die Ebene) vor.

Bildet man eine Ellipse

gemäß der vereinfachten Projektionsformal ab, so ergibt sich als Bild die Kurve

wobei









g










i




=






f










i








(






f










i





<
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!– ⋅ –>





n









)





v









,


 


i


=


0


,


1


,


2




{\displaystyle {\vec {g}}_{i}={\vec {f}}_{i}-({\vec {f}}_{i}\cdot {\vec {n}}){\vec {v}},\ i=0,1,2}


ist. Also gilt, falls die Ellipsenebene nicht parallel zur Projektionsrichtung ist:

Konstruktionsschritte:

Eine Zentralprojektion ist rechnerisch und zeichnerisch deutlich schwieriger zu handhaben. Im Gegensatz zur Parallelprojektion kann das Bild eines Kreises nicht nur eine Ellipse sein, sondern auch eine Hyperbel und im Sonderfall auch eine Parabel. Selbst im Fall, dass das Bild eine Ellipse ist, geht der Kreismittelpunkt nicht in den Mittelpunkt der Bildellipse über (s. Bild). Damit gehen senkrechte Kreisdurchmesser auch nicht in konjugierte Durchmesser der Bildellipse über. Das zeichnerische Instrumentarium der Parallelprojektion ist also direkt nicht anwendbar. Erst, wenn man in der Lage ist, den Mittelpunkt einer Bildellipse und ein Paar konjugierter Durchmesser (Halbmesser) zu bestimmen, kann man wie oben mit der Rytzkonstruktion die Achsen bestimmen und die Bild-Ellipse zeichnen.

Ist man nur an einer skizzenhaften Zeichnung der Bildellipse interessiert, so kann man ein Tangentenparallelogramm samt Berührpunkten abbilden und die Ellipse mit Hilfe eines Kurvenlineals einfügen (s. Beispiel: Würfel mit Kreisen). Die Genauigkeit kann man durch Hinzunahme weiterer Punkte, z. B. der Punkte auf den Diagonalen und ihrer Bilder, erhöhen.

Ist das Bild eines Kreises eine Hyperbel, so lohnt es sich, die Asymptoten der Bildhyperbel zu konstruieren. Sie sind die Bilder der Tangenten in den beiden Schnittpunkten des Kreises mit der Verschwindungsebene. Der Schnitt der Asymptoten ist der Mittelpunkt der Bildhyperbel. Es genügt dann, einen Punkt der Hyperbel aus Grund- und Aufriss zu konstruieren. Mit der Eigenschaft „Mittelpunkt der Sehne halbiert auch die Sehne der Asymptoten“ lassen sich anschließend beliebig viele Hyperbelpunkte im perspektiven Bild erzeugen.

Falls die Kreisebene durch den Augpunkt geht, d. h. projizierend ist, ist das Bild des Kreises eine Strecke oder Gerade.

In allen folgenden Fällen soll der Kreis nicht in einer Ebene durch den Augpunkt liegen.

Um dies einzusehen, stellt man sich den Kegel vor, der von dem Kreis und dem Augpunkt erzeugt wird. Dies ist i. A. kein gerader Kreiskegel, aber das affine Bild eines solchen. Auch für so einen Kegel gilt (wie bei einem geraden Kreiskegel): Ebene Schnitte mit Ebenen, die nicht die Kegelspitze enthalten, sind nichtausgeartete Kegelschnitte. Und zwar a) eine Ellipse (Fall 0, 1), wenn die Ebene nicht parallel zu einer Mantellinie ist und den Kegel nur in einer Kurve schneidet, b) eine Parabel (Fall 2), wenn die Ebene parallel zu einer Mantelinie ist und c) eine Hyperbel (Fall 3), wenn die Ebene den Kegel in zwei Kurven schneidet. Insbesondere in den letzten beiden Fällen kann man den Kreis nicht vollständig abbilden, sondern nur einen Teil. Im Fall einer Hyperbel wird nur der Kreisbogen vor der Verschwindungsebene abgebildet, so wie man allgemein bei einer Zentralprojektion nur Punkte vor der Verschwindungsebene, d. h. auf der Seite der Bildtafel liegende Punkte, abbildet. Wenn man erwähnt, dass eine Zentralprojektion das Sehen mit einem Auge nachahmt, darf man sich nicht die Bildtafel als Netzhaut vorstellen, sondern, dass das Betrachten einer Zentralprojektion (mit dem Auge im Augpunkt und Fixierung des Hauptpunktes) das reale Objekt vollkommen ersetzt.

Bei der Projektion einer Kugel mit Längen- und Breitenkreisen können alle Fälle auftreten, falls der Augpunkt (Projektionszentrum) in der Kugel liegt (s. Bild).

Zentralprojektion eines Kreises parallel zur Bildtafel

Zentralprojektion eines Kreises als Ellipse

Zentralprojektion eines Kreises als Parabel

Zentralprojektion eines Kreises als Hyperbel

Damit das Bild eines Kreises eine Ellipse wird, muss der Kreis vor der Verschwindungsebene (s. Bild) liegen. Dies wird im Folgenden vorausgesetzt.

Um eine Ellipse konstruieren zu können, benötigt man zwei konjugierte Durchmesser. Zwei konjugierte Durchmesser schneiden sich im Mittelpunkt. Ein Durchmesser einer Ellipse besitzt in den Ellipsenpunkten immer parallele Tangenten (s. oben). Also benötigt man ein Kriterium, wann zwei Geraden auf zwei parallele Geraden abgebildet werden. Das Kriterium lautet:

Zentralprojektion zweier Geraden als parallele Geraden

Zentralprojektion eines Kreises als Ellipse mit Tangenten

In der Praxis wählt man bei der Zentralprojektion eines Kreises (vor der Verschwindungsebene) das Tangentenpaar, das sich im Lotfußpunkt





L




{\displaystyle L}


des Lotes





l




{\displaystyle l}


vom Kreismittelpunkt auf die Verschwindungsgerade der Kreisebene schneidet (s. Bild). Die Strecke









Q



1





Q



2





¯







{\displaystyle {\overline {Q_{1}Q_{2}}}}


ist das Urbild des ersten Durchmessers der Bildellipse. Da er parallel zur Verschwindungsgerade und damit auch zur Bildtafel ist, liegt das Urbild des dazu konjugierten Durchmessers auf der Lotgeraden





l




{\displaystyle l}


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